每个人都是记载生活之人
原作者：佩勒 我们知道，PrSS的极限是(1,2,3,4,5,…)=ε(0)，其原因来自第二项的“每一项-上一项≤1”，如果去掉它会怎么样呢？
由于第一项=1没有去掉，所以进位规则不是：
(1,2,3,4,5,…)=(2)
而是：
(1,2,3,4,5,…)=(1,3)
保持所有的坏根、坏部、好部这些定义不修改
定义一个新的东西“阶差”为每两项之间的差值，用d表示
那么，在PrSS中，d恒为1
如果d恒为一个常数，得到的序列和PrSS一模一样（或者是不良定义），所以我们要基于序列“灵活变化”d
在LPrSS(a_1,a_2,…,a_i,…a_(k-1),a_k)（a_i为坏根）中，阶差d的变化如下：
d=a_k-a_i
那么,LPrSS又要怎么展开呢？
PrSS中，展开的方法是：
删掉末项，将坏部无限复制
LPrSS中，展开的方式修改为：
删掉末项，将坏部逐项+(d-1)后复制一次，无限持续其操作
以LPrSS(1,4,6,4)为例
第一步：找坏根，从4往前找：
4→6（不是）→4（不是）→1（<4，是）
于是我们得到它的坏根=1，好部=()，坏部=(1,4,6)
计算阶差=4-1=3
计算复制加数3-1=2
砍掉末项：
L(1,4,6)
复制一次：
L(1,4,6,3,6,8)
复制两次：
L(1,4,6,3,6,8,5,8,10)
持续下去：
L(1,4,6,3,6,8,5,8,10,7,10,12,9,12,14,…)
于是便展开了
如果将阶差d锁定为1，展开规则中，复制加数=1-1=0，也就是无限复制，于是这个弱化过的LPrSS就是PrSS了
现在开始分析LPrSS
L(1,3)=ε(0)
L(1,3,2)=ε(0)×ω
L(1,3,2,4)=ε(0)²
L(1,3,2,4,3,5)=ε(0)^ε(0)
L(1,3,3)=ε(1)
L(1,3,4)=ε(ω)
L(1,3,5)=ε(ε(0))
L(1,3,5,7)=ε(ε(ε(0)))
L(1,4)=ζ(0)
L(1,4,2,5)=ζ(0)²
L(1,4,3)=ε(ζ(0)+1)
L(1,4,4)=ζ(1)
L(1,4,5)=ζ(ω)
L(1,4,6)=ζ(ε(0))
L(1,4,7)=ζ(ζ(0))
不难发现阶差0对应1，阶差1对应ω，阶差2对应ε，阶差3对应ζ
L(1,5)=φ(3,0)
L(1,6)=φ(4,0)
limit of LPrSS=φ(ω,0)
猜对了，阶差在LPrSS对应的是Veblen二元序数的关系
LPrSS可以对每一项向左找到比它小的项（父项）相减得到阶差，最左边的1阶差是1
于是，对L(1,4,6,4)进行提阶差操作：
(1,4,6,4)→(1,3,2,3)
如果对提阶差得到的数列继续提阶差，会发生什么呢？
这将会在下一篇讲的HPrSS（超初等序列）提及
作者楼主：Ancient | 发表时间：2026-07-18 13:03:02 | ID：6a5b09063deed
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